TI POLITALA MATDIS 1C

FUNGSI

            Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

            Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah {\displaystyle y=f(2x)}, yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis {\displaystyle f(5)=10}.

 Fungsi adalah relasi yang khusus:
Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.

Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b)  f dan (a, c)  f, maka b = c.

            Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya:
Himpunan pasangan terurut.

Seperti  pada relasi.
Formula pengisian nilai (assignment).

Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan  f(x) = 1/x. 

Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.

 1. Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan bilangan A yang memiliki bayangan yang sama.

2. Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. 

3. Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada.

Contoh:

f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. 

4. Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f.

Contoh:

f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah

f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}

5. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b.

Contoh:

Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1. Penyelesaian: Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-kesatu, jadi balikan fungsi tersebut ada.  Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1.  Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1.  

6. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada. 
Contoh:

Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1. 
Dari Contoh bahwa f(x) = x2 + 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. 
Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi yang not invertible.

Komposisi dari dua buah fungsi. 

            Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan fog, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh

 (f o g)(a) = f(g(a))

Contoh:

Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan

A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi  f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah   f o g = {(1, y), (2, y), (3, x) }

Beberapa Fungsi Khusus  

1.  Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.  

Fungsi floor dari x:

|x|  menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil  atau sama dengan x

Fungsi ceiling dari x:

|x|  menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas. 

2. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif. 

a mod m  memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m

a mod m = r  sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 < r < m.

Beberapa contoh fungsi modulo  

25 mod 7 = 4  

15 mod 4 = 3  

3612 mod 45 = 12  

0 mod 5 = 0   

 –25 mod 7 = 3